수학의 정석 (하) 19-8번 문제
방정식 x²+y²+xy+ax+y = 0 이 나타내는 도형이 직선 x-y+1 = 0 에 대하여 대칭이 되도록 상수 a의 값을 정하여라. ( 답 : 2 )

라는 문제가 있습니다.
원래 풀이는 임이의 점을 두고 중심을 찾아 문제를 해결했지만 저는 앞에서 배운 원의 방적식 부분이 머리에 남아 다른 방식으로 풀었습니다.

x²+y²+xy+ax+y = 0 이 식에 2를 곱해주면
2x² + 2y² + 2xy + 2ax + 2y = 0
-> (x+y)² + (x+a)² + (y+1)² = a² + 1
-> (x+a)² + (y+1)² = a² + 1 - (x+y)²
아직 기하쪽을 잘 몰라서 저는 오른쪽의 반지름의 제곱 부분이 x, y의 값에 따라 변하므로 타원이다. 라고 생각했습니다. 그리고 이 식을
(x-a')² + (y-b')² = r² 이라고 생각하면
a' =-a, b' = - 1

이를 위의 직선 식에 대입하면 a'=-2, 따라서 a=2
이와 같은 유형의 다른 문제를 풀어봤을 때에도 답을 옳게 나왔습니다.

그런데 문제는 이를 지오지브라에 돌려 보았을 때 주어진 식은 예상대로 타원의 형태였지만, 제가 정했던 a', b' 는 원의 밖에 있습니다. 이유도 모르겠고 개념을 무엇부터 봐야 할지 모르겠어요