① 질문내용은 초등수학/중등수학/고교수학 어디에 해당하나요? 고교수학
>② 질문내용이 몇학년에 해당되나요? 고1
>③ 질문내용의 난이도가 경시/수행평가/기본 개념중 어디에 해당하나요? 잘 모르겠어요.ㅠㅠ
1. 직선 y=x+1 이 이차함수 y=x^2-mx+2의 그래프와 만나는 서로 다른 두 점을 A,B라 할 때,
선분 AB 위에 점 (1,2) 가 존재하도록 상수 m의 값의 범위는?
우선 함수의 사귐점을 구하면 x+1=x^2-mx+2로부터 x^2-(m+1)x+1=0을 만족하는 풀이가 된다
조건으로부터 두점 A,B는 서로 다른 점이기때문에 풀이는 반드시 두개여야 한다. 즉 판별식 D=b^2-4ac>0이여야 한다. 이 조건으로부터 판별식을 구하면 (m+1)^2-4>0이 된다
전개하면 m^2+2m-3=(m+3)(m-1)>0
따라서 두 함수가 두개의 점에서 사귀기 위해서 m은 (-무한대,-3)U(1,+무한대)의 값을 가지게 된다.
한편 선분 AB위에 점 (1,2)가 존재한다고 했는데 이것은 문제의 주의를 다른데 돌리기 위한것이다.
다시말해서 점 (1,2)는 반드시 AB위에 놓이기때문이다.
왜냐하면 점 (1,2)는 직선 y=x+1을 만족하고 또 A와 B 역시 이 직선상의 점이기때문이다
즉 두 점 A와 B로 맺은 선분상에 점 (1,2)는 반드시 놓이게 된다.
따라서 조건을 만족하는 m은 (-무한대,-3)U(1,+무한대)구간에 놓이게 된다.
2. 이차함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 방정식 f(f(x))-3=0 의 서로 다른 실근의 개수는?
그림은 위로 볼록(기울기가 마이너스) 이고, 꼭지점이 (2,3) 입니다.
위의 조건으로부터 2차함수식을 표현하면 y=f(x)=-a(x-2)^2+3이다. 여기서 a는 0이 아닌 정수이다.
이로부터 f(f(x))-3=0에 대입하면
f(f(x))-3=-a[-a(x-2)^2+3-2]^2+3-3=-a[-a(x-2)^2+3-2]^2=0이다.
a는 0이 아닌 정수이므로 다시 정돈하면 [-a(x-2)^2+1]^2=0
두제곱을 없애면
-a(x-2)^2+1=0 => a(x-2)^2=1 => (x-2)^2=1/a =>x1=sqrt(1/a)+2, -sqrt(1/a)+2
로 된다.
즉 실수 풀이는 항상 두개이다.
3. 자연수 p,q가 두 부등식 p(4x^2+9y^2+16z^2)≥(2x+3y+4z)^2, q(x^2+y^2/2+z^2/3)≥(x+y+z)^2 을 만족할 때,
pq의 최소값은? (단, x,y,z는 실수)
이 문제는 좀 생각해보고 답변을 하겠습니다.
4. 한 변의 길이가 4인 정삼각형 ABC 의 내부에 점 P가 있고, 삼각형 APB의 넓이는 S1, 삼각형 BPC의 넓이는 S2, 삼각형 CPA의 넓이를 S3 이라 할 때, S1^2+S2^2+S3^2의 최소값은?
이문제는 전체 3각형의 면적을 S라고 할때 즉 S=S1+S2+S3으로 될때 S1=S2=S3인 경우 최소값으로 된다.
즉 S1=S2=S3=S/3일때 S1^2+S2^2+S3^2=S^2/3로써 최소로 된다.
급합니다..ㅠㅠ
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