f(x) = ㅣx-1ㅣ일 때, l i m f(1+h) - f(1-h)
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h→0 2h = 0 이다.
이게 참이더라구요 ㅠㅠ..
x=1에서 미분이 불가능한데
이 값이 0 이 될 수 있나요?
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극한값은 좌극한값과 우극한값이 존재하고 그 두 값이 일치할 때 극한값이 존재한다고 말할 수 있습니다.
좌극한값과 우극한값을 비교해보면 좋겠네요. 비교하지 않아도 좌극한과 우극한 값을 생각한다면 직관적으로
문제해결에 도움이 될 듯 합니다. -
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만약, 분자가 f(1+h)-f(1) 이었다면, 미분 가능하지 않기 때문에 극한값이 존재하지 않는게 맞습니다.
하지만 이 문제의 경우 분자가 f(1+h)-f(1-h) 이기 때문에 x=1에서 미분 불가능 하지만 극한값은 존재하게 됩니다.
h>0 인 경우와 h<0 인 경우, 즉 좌극한과 우극한을 비교해 보도록 합시다.
i) h>0 인 경우 f(1+h)=|1+h-1|=h, f(1-h)=|1-h-1|=h 따라서 분자는 h-h=0 이 됩니다.
결국 lim_h->0 { 0/2h } 의 형태가 되므로 극한값은 0이 됩니다
ii) h<0 인 경우에도 마찬가지로 분자는 (-h)-(-h)=0 이 되므로 극한값은 0이 됩니다.
i), ii) 에서 좌극한과 우극한이 모두 0 이므로 극한값은 0 이 됩니다. -
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일단 위의 문제 같은 경우 미분과는 관련이 없네요
f(1+h)=ㅣ1+h-1ㅣ =ㅣ h ㅣ
f(1-h)=ㅣ1-h-1ㅣ =ㅣ -h ㅣ = ㅣ -1 ㅣㅣ h ㅣ=ㅣ hㅣ
f(1+h)-f(1-h) = ㅣ h ㅣ - ㅣ h ㅣ = 0
즉 분자가 0이 되네요
그럼 h->0일때 분모는 0으로 다가가게 되겠죠..
따라서 분자는 0이고 분모는 0으로 다가가는 수이므로 극한값은 0이 됩니다.
좌극한 우극한을 굳이 따지지 않더라도 가능한 계산입니다.
물론 연속함수라 할지라도 미분 가능하지 않는 경우가 있습니다.
위의 함수가 그런 경우이죠.
극한 값 존재는 연속한 함수가 아니어도 가능합니다.