x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) 로 인수분해 됩니다.

x - y = a ,  x + y = a^2  인 정수 x, y 가 존재함을 보이면 됩니다.

자세한 증명은 파일로 첨부합니다.

x-y=1, x+y=a^3 인 경우에 연립 방정식을 풀면

2x = a^3 + 1,    2y = a^3 -1 이 됩니다.

이경우 a 가 짝수라면 좌변은 짝수 우변을 홀수가 되어 모순이 생기므로 적절치 않습니다.

죄송합니다. 제가 이해가 안되는 부분이 있어서 다시 물어보겠습니다.

a가 짝수라면 위의 방법이 맞지만 a가 홀수일때는 이 부분을 생각해야되는거 아닌가요?

문제가 a에 따라서 x,y가 존재하는 걸 보이는 거니깐 a가 짝수이면 생각안해도 되겠지만 a가 홀수이면 생각해야 될 거 같은데요

제가 실력이 부족해서 죄송합니다. 답변부탁드립니다.

x - y = a ,  x + y = a^2  인 정수 x, y 에 대한 증명은

a 의 홀짝을 가리지 않고 증명할 수 있으므로 따로 다루지 않은 것입니다.

모든 a에 관하여 통일적으로 증명하는 것이 있으므로 굳이 님의 예시를 고려하지 않은 것입니다.