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고등수학
2010.01.26 17:06

최대공약수

조회 수 4407 추천 수 2 댓글 1
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x3+ax2+2x-1,  x3+bx2+1의 최대공약수가 이차식일 때, a,b의 값을 구하여라.

라는 문제좀 알려주세요

개념원리 확인체크 문제인데요

답지에

 

두 다항식의 합,차 속에 최대공약수가 포함되어있다.

(1) 두 다항식을 더하면

  2x^3+(a+b)x^2+2x=x{2x^2+(a+b)x+2}

(2) 두 다항식을 빼변

(a-b)x^2+2x-2

그런데 문제의 조건에서 최대공약수는 이차식이므로

2x^2+(a+b)x+2=k{(a-b)x^2+2x-2}

k(a-b)=2, 2k=a+b, -2k=2

따라서 k=-1

따라서 a=-2, b=0

 

이렇게 되어있습니다.밑줄친 부분이 이해가 안가요

가르쳐 주세요~

 




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  • ?
    서크레이지 2010.02.02 02:41

    합과 차에 최대공약수가 포함된다는 사실은 이해가 되신다면

    문제에 최대공약수가 2차식이라고 주어졌는데 두식의 합차가 2차식이므로  두식의 합이나 차에 상수k를 곱하면 두 수는 같게 되는것이죠~

     

    A일차식*최대공약수(2차식) + B일차식*최대공약수(2차식) = 최대공약수*(A일차식+B일차식)

    A일차식*최대공약수(2차식) - B일차식*최대공약수(2차식) = 최대공약수*(A일차식 - B일차식)

     

    두수의 합차에는 최대공약수 포함~

     

    결국 (A일차식+B일차식)과  (A일차식 - B일차식)은 상수

    왜냐하면 합차 계산결과 둘다 2차식이 나왔는데 최대공약수 또한 2차식이므로 위의 두식은 상수~

     

    그래서 두 합차계산결과를 같게 만들려면 한쪽에 상수k를 곱해주면 같아짐~


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