logx=n+a  (0<=a<1,n은 정수) 이라하면
logx와 log(1/x)의 가수가 같으므로 logx - log(1/x)은 정수이다.
logx - log(1/x)=logx - logx^-1=logx + logx=2logx
                        =2(n+a)=2n + 2a  
2n은 정수이므로 2a가 정수다.
0<=2a<2 이므로,
2a=0 또는 2a=1  ===>  a=0 또는 a=1/2 
(1) a=0 인 경우
 logx=n        (0<x<1 이므로 n은 음의정수) 
 x=10ⁿ  ====>  x=10^-1,10^-2,10^-3,10^-4, ......
 x²=10^-2,10^-4,10^-6,10^-8, ......
(2) a=1/2 인 경우 
 logx=n+1/2
 즉, logx=-1+1/2, -2+1/2, -3+1/2, -4+1/2, .......
 따라서,  x=10^-1/2, 10^-3/2, 10^-5/2, 10^-7/2, ......
   x²=10^-1,10^-3,10^-5,10^-7, .....
(1),(2)의 모든 x²의 합은
    10^-1+10^-2+10^-3+10^-4+10^-5+ .......
 = 10^-1/ ( 1 - 10^-1)             ( 공비가 10^-1 이고 첫째항이 10^-1 인 무한등비급수)
 = 1/9

깔끔한 풀이입니다.?

너무너무 감사합니다^^