< 네이버 백과사전에 나오는 연산 에 관한 내용 >
일반적으로 어떤 집합의 원소 사이에 일정한 조작을 적용하여 다른 원소를 이끌어 내는 것을 말한다. 즉 집합 S에 속하는 임의의 두 원소 a, b의 순서쌍 (a, b)에 S의 어떤 원소 c를 대응시키는 것 '(a, b) →c'를 연산이라고 한다. 이것을 연산기호 ⊙를 사용하여 나타내면 a⊙b=c이다.
연산기호란 연산에서 사용하는 덧셈기호 ＋, 뺄셈기호 , 곱셈기호 ×, 나눗셈기호 ÷, 등호 =, 제곱근풀이의 기호 √ 등을 말한다. 연산 가운데 특히 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈을 총칭하여 사칙연산이라 한다.
한편 집합 S에 어떤 연산 ⊙이 정의되어 있을 때, S에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대하여 a⊙b가 S에 속하면 집합 S는 연산 ⊙에 대하여 '닫혀 있다'고 한다. 예를 들면 자연수의 집합은 덧셈·곱셈에 대하여 닫혀 있고 뺄셈·나눗셈에 대하여 닫혀 있지 않으며, 정수의 집합은 덧셈·뺄셈·곱셈에 대하여 닫혀 있고 나눗셈에 대하여 닫혀 있지 않다. 또 유리수의 집합과 실수의 집합은 사칙연산에 대하여 모두 닫혀 있다(나눗셈의 경우 0으로 나누는 것은 제외).
연산의 기본법칙으로는 교환법칙·결합법칙·배분법칙이 있다. 실수 전체의 집합에서 덧셈·곱셈에 대하여 다음의 연산법칙이 성립한다. ① 교환법칙 a+b=b+a, a×b=b×a ② 결합법칙 (a+b)+c=a+(b+c), (a×b)×c=a×(b×c) ③ 분배법칙 a×(b+c)=(a×b)+(a×c), (a+b)×c=(a×c)+(b×c).
또 일반적으로 집합 S가 연산 ⊙와 *에 대하여 닫혀 있을 때 S에 속하는 임의의 세 원소 a, b, c에 대하여 다음과 같이 정의한다. ① a⊙b=b⊙a◆S는 ⊙에 대한 교환법칙이 성립한다. ② (a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c)◆S는 ⊙에 대한 결합법칙이 성립한다. ③ a⊙(b*c)=(a⊙b)*(a⊙c)◆S는 *에 대한 ⊙의 분배법칙이 성립한다.
집합의 연산에서는 임의의 세 집합 A, B, C에 대하여 교환법칙 A∪B=B∪A, A∩B=B∩A, 결합법칙 (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C), 분배법칙 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)가 성립한다. 또 전체집합을 U라 할 때 임의의 부분집합 A, B에 대하여 ① A∪A★=U, A∩A★=Ø ② (A★)★ = A ③U★=Ø, Ø★ = U ④ A-B=A∩B★이 성립한다.
유리연산(더하기, 빼기, 곱하기, 나누기의 4가지 연산)에 대하여 거듭제곱, 거듭제곱근의 연산이 도입되었으며, 함수를 정의할 때 독립변수에 종속변수를 대응시키는 것도 일종의 연산이다.
연산은 컴퓨터에서도 쓰이는 용어로 산술연산과 논리연산이 있다. 산술연산은 ＋, , ×, ÷ 등의 산술연산자를 이용하여 산술규칙에 따라 결과를 얻는 것이고, 논리연산은 논리곱(and), 논리합(or), 부정(not) 등의 논리연산자를 이용하여 논리적 사고방식에 따라 결과를 얻는 것이다. 운산(運算)이라고도 한다.
그럼 질문 들어갑니다.
제가 궁금한 것은 즉 집합 S에 속하는 임의의 두 원소 a, b의 순서쌍 (a, b)에 S의 어떤 원소 c를 대응시키는 것 '(a, b) →c'를 연산이라고 한다. 이것을 연산기호 ⊙를 사용하여 나타내면 a⊙b=c이다.
에서, a⊙b=c 라는 것의 의미가
1. a와 b에 대해서 ⊙ 라는 연산을 한 결과는 c 이다. 라는 것인지 ( 이 의미에서의 a⊙b 는 ' 연산을 진행하라 ... ' 정도의 의미이고 집합의 원소 취급을 받지는 않죠 )
2. a⊙b로써 이미 연산에 의해 대응된 c를 의미하고, 그렇기 떄문에 a⊙b=c 라고 써 주는 것인지...( 해당 집하에서의 원소들에 관한 ' 같다' 의 정의에 의해서 말이지요 )
무슨 말인지 이해가 가시려나요? 가셔아만 해요....;;;
교과서에 보면, A∪B / A∩B / A - B 는, 그 자체로 ' 집합 ' 즉 원소로 취급받습니다. 2번의 의미인 것이죠.
중학교 교과서에 써 있는 것을 보면 교집합 ( 즉, 집합이죠 ) 를 기호로 A∩B 로 쓴다. 라고 나오니까요.
그런데 저는 지금까지 3+4 , 2-7 뭐 이런거 공부할때 1번의미로 생각하고 있었거든요. 2+5 를' 2와 5에 +라는 연산을 한 결과인 원소 '로써 취급하지 않고 2에 5를 더하면 ~ 의 의미로 생각해 왔었으니까요.
1.2 번 해석 둘다 가능한건지, ( 수학에서 딱히 이것에 대해서 명확히 정해놓은 바가 없다면, 이것은 해석하기 나름이 되어 버리겠지요 ) 어떤 연산에 대해서는 1의 의미, 어떤 연산에 대해서는 2의 의미인지 ( 마약 그렇다면 예시좀 ) 아니면 둘중 하나만 맞는 건지... 알려주세요.
개인적인 추측으로는
y=f(x)에서 이게' 함수 f에 의해서 x에 y 가 대응한다. 라는 의미이면서 f(x)는 함수값 을 의미하기도 하니까 1.2 번 뜻 다 되는거 아닌거 싶지만... 뭐 ( 사실 함수의 경우에도 y=f(x) 가 -함수 f에 의해서 x에 y 가 대응한다- 라는 의미 자체인건지, 아니면 y=f(x) 에 의하면 함수값이 y 인 거니까, 함수f에서 x에 대하여 y가 대응하는 거고 ,그러므로y=f(x) 는 -함수 f에 의해서 x에 y 가 대응한다- 라는 의미가 된다. 라는 식으로 ' 유도된건지 잘 모르겠지만요. 결과는 같지만 ' 유도하면 그런 의미가 나온다' 와 ' 애초에 그런 의미다 ' 라는 것은 확실히 다르지 않습니까 ? )
아무튼 ~ 부탁드립니다 ㅜㅜ 고수님들 ~~
