기본기가 없어서 중학교 개념이 헷갈립니다.
고등학교 지식을 충분히 갖추신 분이라면 대답하실수 있을거 같아서 고등수학으로 올립니다.
제가 중학교때 순환소수할때 그 때는 그냥 그런가 보다 하고 넘어 같는데
.
0.3=0.33333333333333333333333333333333333333333333333.....
이죠.
중학교 교과서에 이 수를 A로 잡고 10배를 합니다.
그러면 10A=3.3333333333333333333333333333......................
이고 10A-A=3이 나온다면 9A=3이 되서 A=1/3=0.333333333333333.................. 이 나온다고 합니다.
여기서 제 생각을 말씀드리자면
10A-A를 하면 3+0.00000000000000000........................3의 아주 작은수가 더해지지 않겠습니까?
물론 Lim 개념이 있다면 Lim 10A-A=3이 되겠다만 여러분도 알다싶이 Lim란것이 그 수가 된다는 것이 아니라
그 수에 무한히 가까워진다. 즉 극한값이란것이지 같다는 소리는 아니지 않습니까?
아주 가까울뿐 같지는 않은 것이죠. 예를들면 Lim 1/n 은 0으로 수렴하겠지만 1/무한 은 0에 아주 근접하는
n-무한
어떠한 수가 되게 됩니다.(수식이 안되서 약간 보기 힘든 식이 되버려서 죄송)
그렇다면 그 아주 작은 수 때문에 결국 등호를 붙인다는 것은 모순이 생기는것이 아닙니까?
(참고로 중학교 때는 아주 작은수이므로 무시하여도 된다고 들은거 같은데
수학에서 작다고 무시한다는것이 말이 됩니까? 물론 가까워지긴 하겠다만...)
이번 질문도 제가 생각하는 오개념을 바로 잡아 주셨으면 합니다.
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10A-A를 하면 3+0.00000000000000000........................3 가 아니라
10A-A를 하면 3-0.00000000000000000........................3 가 되게 되네요.
이유는 10A-A가 A가 0.3일때는 3-0.3
10A-A가 A가 0.33일떄는 3-0.03
10A-A가 A가 0.333일떄는 3-0.003
10A-A가 A가 0.3333일떄는 3-0.0003
이와같이 계속 가게 되어 결국 9A가 3에 수렴하지만 3보다는 작다는 것이 제 생각입니다.
깽보님 의견 감사드립니다.
a, b 가 서로다른 두수라면 a > b 또는 a < b 임이 분명하다 라는 좋은 논리를 펼쳐 주셔서 감사합니다.
하지만 제가 표현이 미흡하여 제 물음을 잘 못 이해하셔버렸네요.
'1/3 와 0.333333 .... 는 차이를 표현 할 수 없다 ' 라는 사실을 보이는 과정에서 저는 오류가 생겼습니다.
이 부분은 분명 계산을 하여보면 비슷하게 보일수는 있습니다. 하지만 .....인 부분에서도 항상 같다는 것을
보여주기 위한 것이 증명입니다.
위글에 제가 증명을 하다가 오류가 생긴 이유가 있습니다.
그 부분의 모순과 증명을 올려주신다면 더욱 감사하겠습니다.
글을 읽어주셔서 감사합니다. -
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계산과정에서의 오류가 보이는군요
A=0.333...이라고 한다면
10A-A는 3이 될 수 밖에 없습니다
10A와 A의 소수점 밑에서의 3의 개수는 같다고 봐야합니다
이건 수열의 개념이 아닙니다. 소수점 밑에서 3은 무한번 반복되죠
10A=3.333...
A=0.333...
10A에서 A를 뺀다면
9A=3.000...3
이 부분의 계산이 잘못된 겁니다. 무한번 반복되는 수인데 어떻게 마지막에 3이 남습니까.
극한 개념을 말하셨는데
A를 0.33 그리고 0.333등으로 바꿔가면서 극한 개념을 말하셨습니다.
A의 소수점 밑 자리수가 많아질 수록 9A가 3에 가까워진다고 했는데
당연히 0.33과 1/3은 다른 수입니다. 3의 개수가 무한대로 가는 극한에서만 1/3과 같아지죠
그러한 측면에서 3+ 1/3 와 0.333333 .... 는 차이를 표현 할 수 없다 따라서 같은 수 이다.