수학 문제 개념 질문

와니2009.07.03 15:44

A. $eq=1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots$ 를 조화수열이라고 하구요, $eq=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$ 는 조화급수입니다. 이번 포스팅에서 살펴볼 급수이지요.

B. 조화급수는 수렴할까요, 발산할까요? 조화급수가 커지는 속도는 매우 느려서, 1/1 에서 1/n 까지 더한 수가 100 이 되기 위한 n 은 (무려) 15092688622113788323693563264538101449859497 입니다. 이런 상황이니 조화급수는 수렴할 것도 같습니다만, 놀랍게도 조화급수는 무한대로 발산합니다.

$\begin{align} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} /> 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad +\cdots. \end{align}$

1/2 를 무한히 많이 더하면 발산하므로, 조화급수는 무한대로 발산하는 급수보다 더 큽니다.

따라서 조화급수는... 발산합니다...

수렴할 것 같은데..^^;;

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