전문적인 학원 강사가 아니라 문제풀이의 형식이나 내용이 허접할 수 있으나 이런 식으로 푼다는 것만 고려해주면 감사.... 그냥 심심풀이로 수학문제푸는 직장인이라. 4,6번은 잘 몰라서.. 푸는 방법이 생각나면 차후에 올리도록 하겠읍니다. 풀이는 아래와 같습니다.
1. 568xxx 의 꼴로 된 여섯자리의 자연수중 3,4,5의 공배수가 되는 가장 큰수와 가장 작은수를 구하시오.
3,4,5의 공통의 공배수 중 최소공배수는 60입니다.
따라서 568xxx 의 여섯자리의 자연수는 6의 배수이자 10의 배수입니다.
1) 10의 배수가 될려면 끝자리가 0으로 끝나야 합니다.
따라서, 568xx0 의 꼴이 됩니다.
2) 6의 배수는 2의 배수이자 3의 배수입니다.
먼저 20의 배수는 끝자리가 20, 40, 60, 80 으로 끝나야 합니다.
568x20, 568x40 로 끝나야 하며,
3의 배수가 될려면 5, 6, 8, 2, x 이나 5, 6, 8, 4, x 의 합이 3의 배수가 되어야 합니다.
2.1) 앞의 경우 21 과 x 의 합이 3의 배수가 되어야 하므로, 3, 6, 9 가 될 수 있고
가장 큰수는 568920, 가장 작은수는 568320 입니다.
2.2) 뒤의 경우 23 과 x 의 합이 3의 배수가 되어야 하므로, 1, 4, 7 이 될 수 있고
가장 큰수는 568740, 가장 작은수는 568140 입니다.
3) 2.1 과 2.2 를 합치면,
가장 큰수는 568920, 가장 작은수는 568140 입니다.
2. 555, 777 처럼 같은 숫자로 이루어진 세자리수는 모두 37의 배수입니다. 그이유를 설명하시오.
555, 777 처럼 같은 숫자로 이루어진 세자리수의 최소공배수는 111입니다.
예) 222 = 111 x 2, 333 = 111 x 3, .... , 999 = 111 x 9
111 = 37 x 3, 111는 37의 배수입니다.
따라서 같은 숫자로 이루어진 세자리수의 모든 수는 37의 배수입니다.
3. 9999............9 (9가 2006개) 를 37로 나눈 나머지를 구하시오.
9999............9 = 999 x (10의 2003승 + 10의 2000승 + 10의 1997숭 + .... + 10의 2승) + 99
입니다. (참고로 10의 3승이 작아지면, 마지막엔 10의 2승이 됩니다)
999 = 37 x 3 x 9 이므로, 99를 제외한 경우 0으로 나누어 지고
99 를 37로 나눈 나머지값만 계산하면 됩니다. 따라서 나머지는 25입니다.
4. 10017, 100117, 1001117, 10011117 ........ 이런수들이 53의 배수인가? 설명해 보시오.
10017 / 53 = 189
100117 = (100170 - 53) / 53 = 1890 - 1 = 1889
1001117 = (1001170 - 53) / 53 = 18900 - 1 = 18889
..... 이런 패턴을 이루고 있기 때문에 53의 배수이다.
5. 다음조건을 만족하는 네자리수를 구하시오. 일의 자리가 짝수이다.
1) 일의자리+천의자리 = 10
2) 72로 나누어 떨어진다.
3) 일의 자리와 천의 자리를 지워버리고 얻은 두자리수는 소수이다.
ABCD 라 가정하면
1) 일의 자리+천의 자리 = 10 => A + D = 10, 이고 일의 자리가 짝수인 경우는
A, D가 (2, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 2) 가 될 수 있습니다.
2) 72로 나누어 떨어지는 경우, 9의 배수이자 8의 배수 입니다.,
따라서 A, B, C, D의 합은 9의 배수(18, 27, 36)입니다.
(A, B, C, D의 합은 40을 초과할 수 없습니다)
A, D가 10 이므로 B와 C의 합은 8, 17입니다.(B, C의 합은 20을 초과할 수 없습니다)
B, C는 (1, 7), (7, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (8, 9), (9, 8)
3) 2)에서 만들 수 있는 수
17, 71, 26, 62, 35, 53, 89, 98 중 소수는 17, 71, 53, 89 입니다.
4) 따라서 ABCD가 될 수 있는 수는
2178, 2718, 2538, 2898
4176, 4716, 4536, 4896
6174, 6714, 6536, 6896
8172, 8712, 8532, 8892 이며 8의 배수는(전자계산시 사용했음)
4176, 4536, 4896, 6536, 6896, 8712 입니다.
* 혹시 8의 배수 쉽게 찾는 법 알면 메일로 보내주기 바랍니다.
6. 1과 2로만 이루어진 다섯자리수 자연수중 32의 배수를 구하시오.
1, 2로 구성된 5자리의 수, X = 32x 라 할 수 있고
11111 <= X <= 22222, 348 <= X/32 = x <= 694 이다
x = a b c 라 할때,(주의 a는 3~6 사이의 수)
a b c
x 3 2
--------------
2a 2b 2c
3a 3b 3c
---------------------
d d d d 2
의 결과값는 1과 2로 이루어진 5자리의 수이지만 2의 배수이므로 끝자리는 2이다
따라서 c = 1, 6이 될 수 있다.
먼저 c = 1일 경우
a b 1
x 3 2
--------------
2a 2b 2
3a 3b 3
---------------------
2b + 3 = 11, 2b + 3 = 21 이 되어야 하며, 따라서 b = 4, 9가 될 수 있다
먼저 b = 4인 경우
a 4 1
x 3 2
--------------
2a 8 2
a+1 2 3
---------------------
2a+3 1 2
2a + 3 = 11, 2a + 3 = 21 이 되어야 하며, 따라서 a = 4, 9 가 될 수 있다.
위에서 a는 3과 6사이 이므로, a = 4이나, 검산을 하면
441 x 32 = 14112, 만족하지 않는다.
그럼, b = 9인 경우
a 9 1
x 3 2
--------------
2a+1 8 2
3a+2 7 3
---------------------
2a+9 1 2
2a + 9 = 12, 2a + 9 = 22 이 되어야 하며, 따라서 a=1, 6이 될 수 있으나
위에서 a는 3과 6사이 이므로, a = 6, 검산을 하면
691 x 32 = 22112, 답은 22112이다.
다시 c가 6인 경우
a b 6
x 3 2
--------------
2a 2b+1 2
3a 3b+1 8
---------------------
2b + 9 = 11, 2b + 9 = 21 이 되어야 하며, 따라서 b = 1, 6이 될 수 있다
먼저 b = 1인 경우
a 1 6
x 3 2
--------------
2a 3 2
3a 4 8
---------------------
2a+5 1 2
2a + 5 = 11, 2a + 3 = 21 이 되어야 하며, 따라서 a = 3, 8이 될 수 있다.
위에서 a는 3과 6사이 이므로, a = 3, 검산을 하면
316 x 32 = 10112, 1과 2로 구성되어 있지 않다.
그럼, b = 6인 경우
a 6 6
x 3 2
--------------
2a+1 3 2
3a+1 9 8
---------------------
2a+11 1 2
2a + 11 = 21 이 되어야 하며, 따라서 a=5, 검산을 하면
566 x 32 = 18112
따라서, 답은 22112이다.
7. 1,2,3,4,5 중 세 수를 늘어놓아 세자리 자연수를 만든다. 이 자연수가 세 수를 곱한수의 배수가 되었다.
이런수들을 구하시오.
위의 5 수 중 세 수를 나열 후 세 수를 곱하면,
1) 1 x 2 x 3 = 6, 세자리 수 중 6의 배수는 2의 배수이자 3의 배수
따라서 2로 끝나는(2의 배수) 132, 312
2) 1 x 2 x 4 = 8, 2의 배수이므로, 124, 142, 214, 412 가 될 수 있고 이 중 8의 배수는 없음
(수작업으로 다 계산해봄)
3) 1 x 2 x 5 = 10, 10의 배수는 0으로 끝나야 하므로 할 수 없음
4) 2 x 3 x 4 = 24, 24의 배수는 3의 배수이자 8의 배수(2의 배수도 됨)
2 + 3 + 4 = 9는 3의 배수이므로, 모든 수는 3의 배수이며, 이 중의 2의 배수가
가능한 수, 234, 324, 342, 432 중 8의 배수는 432
5) 2 x 3 x 5 = 30, 30의 배수는 10의 배수이자 3의 배수이므로 없음
6) 3 x 4 x 5 = 60 도 마찬가지
따라서 이런 수들은 132, 312, 432 세 수임.
① 질문내용은 초등수학/중등수학/고교수학 어디에 해당하나요?
② 질문내용이 몇학년에 해당되나요?
③ 질문내용의 난이도가 경시/수행평가/기본 개념중 어디에 해당하나요?
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