저 이문제 좀 풀어주세요
1. 서로소인 양의 정수 a,b에 대해 a의 n제곱에서 1을 뺀 것을 b로 나눈 것이 정수가 되는 양의 정수 n이 좀재함을 증명하여라.
2. 2와 5 어느 것으로도 나누어 떨어지지 않는 양의 정수 n이 있다. 각 자리의 수가 전부 1로 구성된 n의 배수가 있음을 증명하여라.
3. 2n(단, n은 2 이상) 이하의 서로 다른 n+1개의 자연수를 원소로 하는 집합이 있다. 이때, 방정식 x+y=z의 해가 되는 x,y,z가 이 집합에 존재함을 보여라.
4.
KMO 관련 문제 - 삼각형에 관련 문제
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2와 5 어느 것으로도 나누어 떨어지지 않는 양의 정수 n이 있다. 각 자리의 수가 전부 1로 구성된 n의 배수가 있음을 증명하여라.
즉, 문제를 요약하면.
n 은 2의 배수도, 5의 배수도 아니다.
1111...111=n k (단 k는 자연수) : n의 존재성
예를 들면,
n 이 3의 배수이면서 2와 5의 배수가 아닌 수라면 (예 n=3,9,21 등)
구체적으로 n=3일때 111...111 중 1의 개수가 3의 배수일 경우 (예 111는 3의 배수이다.)
즉, 111...111 는 3의 배수가 된다.
1번보다 쉬울 것 같기는 한데.... -
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2n(단, n은 2 이상) 이하의 서로 다른 n+1개의 자연수를 원소로 하는 집합이 있다.
이때, 방정식 x+y=z의 해가 되는 x,y,z가 이 집합에 존재함을 보여라.요약하면.
n(A)=n+1 : A의 원소의 개수는 n+1 이다.
x,y,z 가 A 의 원소이다. (단, x+y=z )
문제를 약간 수정할 필요가 있다.
2n(단, n은 2 이상) 이하의 서로 다른 n+1개의 자연수를 원소로 하는 집합들이 있다.
이 때, 방정식 x+y=z의 해가 되는 x,y,z가 존재하는 집합이 있음을 보여라.
예를 들어 n=2라고 하자.
그러면 A의 원소의 후보는 1,2,3,4 중에 3개만이 A의 원소가 된다.
x+y=z를 만족하는 집합 A={1,2,3} 이 존재한다.
계속 생각해보니 문제에 조금 이상합니다.
올리신 분께서 다시금 문제를 작성해 주세요. -
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1. a와 b는 서로소 이므로 어떤 자연수 n에 대해서도 a^n 과 b는 서로소이다.
a, a^2, a^3, a^4, ..., a^b 들을 b로 나눈 나머지는 1에서 b-1까지의 정수이다.
따라서 비둘기집의 원리에 의해 b로 나눈 나머지가 같은 a^i, a^j가 존재한다. (1<=i,j<=b)
일반성을 잃지 않고 i>j라 하자.
b로 나눈 나머지가 같으므로 a^i-a^j 를 b로 나눈 나머지는 0이다
이때 a^i-a^j=a^j(a^(i-j)-1) 에서 a^j는 b와 서로소이므로 (a^(i-j)-1)는 b로 나누어떨어져야 한다.
따라서 a^(i-j)-1은 b로 나누어떨어진다.
그러므로 문제에서 요구하는 양의정수 n은 존재한다.(i-j) -
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2번은 1/n 이 순순환소수가 됨을 이용하면 될것 같습니다.
3번은 문제가 수정되지 않는다면,
어떠한 n에 대해서도 집합을 {n,n+1,...,2n} 으로 잡으면 x+y=z를 만족하는 원소가 존재하지 않으므로
문제의 조건을 만족하지 않는 반례를 찾게 됩니다.
( an -1 ) / b = k (단 k 는 정수) : n 의 존재성
쉽게 말해 an = bk +1 이 되는 n 를 찾는 문제 인데...
예를 들어 보면 a=2, b=3라 할때 22=3k+1 인 k=1 이 존재한다.
고민해야 겠네요!!!