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고등수학
2009.02.19 13:54

무한급수 정오판별보기 질문이요`

조회 수 1283 추천 수 0 댓글 3
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문제 레벨 고등수학(수능포함)


              1.           1-1/2+1/2-2/3+2/3-3/4+3/4+...

              2.           1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4+...

 
                                둘다 수렴인가요 ?..

                        1번은 발산아닌가요 ???.

                          인터넷에서 극한 정오문제 다운받아푸는데
            
                                답이 애매해서 .,.



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  • ?
    asdasddd 2009.02.19 19:09
    우선 2번은 갈수록 절댓값이 0에 가까워지니까 결국에가서는 0에 수렴한다고 할 수 있죠..

    1번은 절댓값이 1→0.5→0.666→0.75→0.8 로 시작은 1이였지만 그이후 0.5부터는 점점1에가까워지죠

    그러면 나중에가면 1과 -1 을 왔다갔다거리니깐 진동이되서 발산이라고 할수있겠죠..

    진동이 발산인지 수렴인지는 헷갈리네요,.. ㅠㅠ
    maybe,,,,,
  • ?
    몬나이 2009.02.20 18:43
    일단 1.은 윗분의 말씀대로 진동이면서 발산이 맞습니다.
    그런데 1과 -1를 진동하는게 아니라 1과 0에서 진동하는거 같네요.
    2번의 경우 n->∞ 일때 a_n->0 이므로 ∑a_n 이 수렴한다고 하기 보다는 (이러하지 못한 예는 많이 있죠... a_n=1/n 같이...)
    고등학교 수준에서는
     이 커짐에 따라 ∑a_n 값의 변화가 1,1/2,1,2/3,1,3/4,1,4/5,1,5/6 이렇게 1에 점점 가까워 지므로 수렴한다고 하는게 적당할 것 같습니다.
  • ?
    미미파파 2009.02.24 12:12
    1. S2n   =1-1/2+1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+4/5-...- (n-1)/n+(n-1)/n-n/(n+1) 

                 =1-n/(n+1)

        S2n-1=1-1/2+1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+4/5-...-
    (n-1)/n+(n-1)/n
                  =1

       따라서, n 이 무한대로 갈때 S2n=0 이고, S2n-1=1 이다.그러므로 발산(진동)한다.

    2. S2n-1=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-...-1/(n-1)+1/(n-1) -
    1/n+1/n

                  =1

        S2n   =1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-...- 1/(n-1)+1/(n-1) -1/n+1/n-1/(n+1)

                  =1- 1/(n+1)

       따라서, n 이 무한대로 갈때 S2n-1=1 ,S2n=1 이므로 이 무한급수는 1 로 수렴한다.

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