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사각형 왼쪽 아래 꼭지점을 원점(0,0)으로 하고 한변의 길이를 l이라 하면
사각형 네꼭지점의 좌표는 시계방향으로 각각 O(0,0), A(0,l), B(l,l), C(l,0)
사각형 내부의 점 P의 좌표를 (a,b)라 하면

선분PO²＝a²＋b²＝4 －－－ (1)

선분PA²＝a²＋(l－b)²＝1
⇒ a²＋b²－2bl＋l²＝1
⇒ l²－2bl＋3＝0
∴ b＝(l²＋3)/2l －－－ (2)

선분PC²＝(l－a)²＋b²＝9
⇒ l²－2al＋a²＋b²＝9
⇒ l²－2al－5＝0
∴ a＝(l²－5)/2l －－－ (3)

(2),(3)을 (1)에 대입하면
{(l²＋3)²＋(l²－5)²}/4l²＝4
l²을 L로 치환하면
{(L＋3)²＋(L－5)²}＝16L
L²－10L＋17＝0
L＝5±2√2 에서 (3)에서 a≥0 이어야 하므로 L≥5
∴ L＝5＋2√2
l＝√L＝√(5＋2√2)

∴ 정사각형 한 변의 길이는 √(5＋2√2)