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고등수학
2009.03.17 12:07

A^3 =O이면 A^2=O 의 증명

조회 수 1554 추천 수 0 댓글 5
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문제 레벨 고등수학(수능포함)
행렬 A에 대햐여 A^3 =O이면 A^2=O 이다 어떻게 증명해야 할까요?



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  • ?
    수학사랑연구소 2009.03.19 09:14
    A2?!= O 이라고 가정(결론 부정)
    양변에 A를 곱하면 A3?!=O ?모순.

    증명이 조금 이상한 것 같은데....
  • ?
    Zzzza 2009.03.20 20:58
    A = ( a b)
             c d
    라 두면 A^3 =O 이므로 A !=kE
    케일리헤밀턴의 정리 A^2 -(a+d)A+(ad-bc)E=O
    A^2 = (a+d)A-(ad-bc)E    --------1)
    A^3 = (a+d)A^2 -(ad-bc)A
           = (a+d){ (a+d)A - (ad-bc)E } -(ad-bc)A
           = {(a+d)^2-(ad-bc)}A - (a+d)(ad-bc)E
           = O
    따라서 (a+d)^2 -(ad-bc)=0
    A의 역행렬이 존재하지 않으므로 ad-bc=0
    (a+d)^2=0 즉 a+d=0
    1)에서 A^2=O

    케일리헤밀턴 정리 연습 겸해서 증명해 봤습니다.
  • ?
    관리자 2009.03.26 17:42
    깔끔한 증명 감사.
  • ?
    미미파파 2009.04.02 02:28
    A3=O 이면 A의 역행렬이 존재하지 않는다.
    (만약, A의 역행렬이 존재한다면 A3=O 의 양변에 A의 역행렬의 제곱을
    곱하면 A=O 이 되므로 모순이다.)
    따라서, A=(a b) 라 하면 D=ad-bc=0 이고,
                        c d
    케일리-해밀턴의 정리에 의하여
      A2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O  
      A2 =(a+d)A                                  (D=ad-bc=0)
      A3 =(a+d)A2                                 
           =(a+d)2A =O
    이므로 A=O 또는 a+d=0 이다.
    그런데 A=O 이면 a+d=0 이므로 결국 a+d=0 이다.
    그러므로, A2 =(a+d)A =O 이다.
  • ?
    배움이 2009.05.11 22:16
    굿입니다요^^

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