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고등수학
2009.01.07 00:18

수2 극한에 대해 질문드립니다.

조회 수 1462 추천 수 0 댓글 2
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문제 레벨 고등수학(수능포함)

lim (x->a) f(x) = 알파 , lim (x->a) g(x) =베타 (알파, 베타는 일정) 이면
lim (x->a) f(x) / g(x) = {lim (x->a) f(x)} / {lim (x-a) g(x)} = 알파/베타
(단, 베타는 0이 아님)

과 같은 성질이 있습니다. 이때,

lim (x->0 ) 1 / { 1 + 21/x } 를 구하려고 하는데 일단,

lim (x->+무한대) 2x = 무한대, lim (x->-무한대) 2x = 0 이구요.
lim (x->+0) 21/x = 무한대 , lim (x->-0) 21/x = 0 입니다.

위의 성질을 이용해서 준식의 x->0을 x->+0, x->-0으로 나누어 생각해보면

준식 = {lim (x->+0) 1} / {lim (x->+0) 1 + 21/x)} = 1 / (1+무한대)=0
준식 = {lim (x->-0) 1} / {lim (x->-0) 1 + 2^(1/x)} = 1 / (1+0) = 1

과 같이 나와 극한값이 없다가 답인데,

제 질문(서론이 너무 길었군요.)은 맨위에 언급한 성질처럼 lim가 분수꼴의
분모 분자에 가서 붙을 수 있는 조건은 분모 분자가 수렴할 때만 가능한거 아닌가요?

준식 = lim (x->+0) 1 / lim (x->+0) { 1 + 2^{1/x}} = 1/(1+무한대)=0

얘처럼 1 + 21/x은 수렴하지 않는데 lim가 분모(1 + 21/x )에 마음대로(?) 붙을 수 있는지
궁금 합니다. 알려주세요.




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    수학사랑 2009.01.14 23:46
    학생인가요?

    문제의 요지는 맨 위 첫줄에 핵심이 있습니다.
    위의 공식에서 중요점은 극한이 존재한다는 것입니다.

    그러나 아래의 문제에서는 좌극한과 우극한이 다르죠. x->+0 과 x->-0 이 다르죠.즉 극한이 존재하지 않는다는 것입니다.
    즉 분모의 극한이 존재하지 않기때문에 전체의 극한(분수형태)이 존재하지 않는 것입니다.
    다시 말해 분모의 극한이 존재하지 않기때문에 위의 공식을 사용할 수 없습니다.
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    Morrie 2009.01.15 23:49
    수학 사랑님 답변 주셔서 감사합니다.

    저 그렇다면 수학 사랑님께서 말씀하시려는 의도는 제가 올린 문제같은 경우 맨 위에 있는 공식을 적용해도 되긴 하지만 적용해봐야 극한이 존재 하지 않으니까 공식 적용이 무의미 하다는 말씀인가요? 아니면 저런 공식에 의존하지 않는 다른 풀이 방법이 있다는 말씀인가요?

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