수2 극한에 대해 질문드립니다.

lim (x->a) f(x) = 알파 , lim (x->a) g(x) =베타 (알파, 베타는 일정) 이면
lim (x->a) f(x) / g(x) = {lim (x->a) f(x)} / {lim (x-a) g(x)} = 알파/베타
(단, 베타는 0이 아님)

과 같은 성질이 있습니다. 이때,

lim (x->0 ) 1 / { 1 + 2^1/x } 를 구하려고 하는데 일단,

lim (x->+무한대) 2^x = 무한대, lim (x->-무한대) 2^x = 0 이구요.
lim (x->+0) 2^1/x = 무한대 , lim (x->-0) 2^1/x = 0 입니다.

위의 성질을 이용해서 준식의 x->0을 x->+0, x->-0으로 나누어 생각해보면

준식 = {lim (x->+0) 1} / {lim (x->+0) 1 + 2^1/x)} = 1 / (1+무한대)=0
준식 = {lim (x->-0) 1} / {lim (x->-0) 1 + 2^(1/x)} = 1 / (1+0) = 1

과 같이 나와 극한값이 없다가 답인데,

제 질문(서론이 너무 길었군요.)은 맨위에 언급한 성질처럼 lim가 분수꼴의
분모 분자에 가서 붙을 수 있는 조건은 분모 분자가 수렴할 때만 가능한거 아닌가요?

준식 = lim (x->+0) 1 / lim (x->+0) { 1 + 2^{1/x}} = 1/(1+무한대)=0

얘처럼 1 + 2^1/x은 수렴하지 않는데 lim가 분모(1 + 2^1/x )에 마음대로(?) 붙을 수 있는지
궁금 합니다. 알려주세요.