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고등수학
2009.01.31 11:00

수학2 미분 한문제 질문이요 ~ .

조회 수 1274 추천 수 0 댓글 4
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문제 레벨 고등수학(수능포함)

                                            
   f(x) = ㅣx-1ㅣ일 때, l i m       f(1+h) - f(1-h)
                                       -------------------------------------------------
                            h→0                  2h                                            
  = 0 이다.

     
                
                이게 참이더라구요 ㅠㅠ..
                    x=1에서 미분이 불가능한데

                        이 값이 0 이 될 수 있나요?



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  • ?
    관리자 2009.02.03 09:45
    미분 가능이라는 말은 연속함수라는 조건이 있어야 합니다. 
    물론 연속함수라 할지라도 미분 가능하지 않는 경우가 있습니다.
    위의 함수가 그런 경우이죠.

    극한 값 존재는 연속한 함수가 아니어도 가능합니다.
  • ?
    지니허브 2009.02.04 11:16
    극한값은 좌극한값과 우극한값이 존재하고 그 두 값이 일치할 때 극한값이 존재한다고 말할 수 있습니다.
    좌극한값과 우극한값을 비교해보면 좋겠네요. 비교하지 않아도 좌극한과 우극한 값을 생각한다면 직관적으로
    문제해결에 도움이 될 듯 합니다.
  • ?
    최규환 2009.02.09 15:32
    만약, 분자가 f(1+h)-f(1) 이었다면, 미분 가능하지 않기 때문에 극한값이 존재하지 않는게 맞습니다.

    하지만 이 문제의 경우 분자가 f(1+h)-f(1-h) 이기 때문에 x=1에서 미분 불가능 하지만 극한값은 존재하게 됩니다.
    h>0 인 경우와 h<0 인 경우, 즉 좌극한과 우극한을 비교해 보도록 합시다.
    i) h>0 인 경우 f(1+h)=|1+h-1|=h, f(1-h)=|1-h-1|=h 따라서 분자는 h-h=0 이 됩니다.
    결국 lim_h->0 { 0/2h } 의 형태가 되므로 극한값은 0이 됩니다
    ii) h<0 인 경우에도 마찬가지로 분자는 (-h)-(-h)=0 이 되므로 극한값은 0이 됩니다.
    i), ii) 에서 좌극한과 우극한이 모두 0 이므로 극한값은 0 이 됩니다.
  • ?
    임용수학 2009.03.05 23:32
    일단 위의 문제 같은 경우 미분과는 관련이 없네요
    f(1+h)=ㅣ1+h-1ㅣ =ㅣ h ㅣ
    f(1-h)=ㅣ1-h-1ㅣ =ㅣ -h ㅣ = ㅣ -1 ㅣㅣ h ㅣ=ㅣ hㅣ
    f(1+h)-f(1-h) = ㅣ h ㅣ - ㅣ h ㅣ = 0
    즉 분자가 0이 되네요
    그럼 h->0일때 분모는 0으로 다가가게 되겠죠..
    따라서 분자는 0이고 분모는 0으로 다가가는 수이므로 극한값은 0이 됩니다.
    좌극한 우극한을 굳이 따지지 않더라도 가능한 계산입니다.

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