① 질문내용은 초등수학/중등수학/고교수학 어디에 해당하나요?
② 질문내용이 몇학년에 해당되나요?
③ 질문내용의 난이도가 경시/수행평가/기본 개념중 어디에 해당하나요?
고교2학년 수준의 논술 문제입니다.
점 P에서 포물선 y=x^2에 그은 2개의 접점을 각각 Q,R이라 한다. 점P가 포물선 y=x^2-1위를 움직일 때, 직선 QR이 지나지 않는 영역을 구하시오.
풀어주시길 바랍니다.
우선 답은 x^2+1≥y 이거구요.(정확한지는 모릅니다. 선생님께서 말씀하신것입니다.)
전 일단 이 문제 푸는 법을 모릅니다. 답만 알지요. 이상하게 문제를 풀었는데 답이 똑같이 나와서 그것이 좀 의아합니다.
y=x^2-1위의 임의의 점P(p,p^2-1)을 두고 그때 만나는 y=x^2위의 점을Q(q,r)으로 두겠습니다. 접선의 방정식을 미분해서 세우면 y=2qx-r입니다. 이것은 접선 PR이나 QR의 방정식이 되겠죠. 문제에서 요구하는건 QR이 지나지 않는 영역인데 저는 PR과 QR이 지나지 않는 영역을 구했습니다. 큰 실수를 한거죠. 그런데 저는 맞는 답이 나왔습니다. 우선 식에 p좌표를 대입하면
p^2-1=2qp-r입니다.p에 대한 방정식으로 바뀐뒤 D/4하면 p^2+1≥r입니다.
p는 x좌표 r은 y좌표 였으니 정답인 x^2+1≥y와 같구요.
제 풀이가 틀린지 모르겠지만 전 이렇게 풀었습니다. 그런데 답안지와 답이 일치해서 맞는줄 알았는데 알고 보니 전 PR(혹은QR)이 지나지 않는 곳을 구한거지 QR이 지나지 않는 곳을 구한게 아니더라구요.
질문의 요지는
의문1)이 문제의 정확한 풀이(QR이 지나지 않는 영역)
의문2)제가 푼 방법이 맞는가?(QR문제가 아닌 PR혹은 PQ이 지나지 않는 영역으로 보았을 때)
의문3)맞다면 어째서 PR(혹은PQ)의 자취영역과 QR의 자취 영역이 일치하는가?
3가지 입니다
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정답이 y > x^2+1 이 아닌가요?
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Q와 R의 좌표를 다른 문자로 써보세요. Q(x_1,y_1) R(x_2,y_2)
그러면 두개의 식을 얻을수 있읍니다.
p^2-1=2x_1 p - y_1 , p^2-1=2x_2 p - y_2
그러므로 p^2-1=2xp - y 인 직선은 반드시 Q, R을 지난다.
따라서 이 직선이 지나지 않는 점은 이 식을 만족하는 실수 p값이 존재하지 않으면 된다.
그래서 판별식을 사용하게 되는 것입니다. D/4=x^2 - (y-1) < 0
그러므로 y > x^2+1
님께서 푼것중의 오류는 마지막 결론에서 q는(풀이에 p는 잘못쓰신듯) x 좌표 r은 y 좌표라 한 부분에 있읍니다. 여기서의 q, r은 y=x^2 위의 어떤한 점이라는 것이지 변수가 될수 없기에 x,y좌표라 표현할수 없는 것입니다. -
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진심으로 감사드립니다.
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앗...또 늦었다. 저도 꼭 답변 해드리고 싶었는데,,,^^
