소인수분해와 최대공약수, 최소공배수에 대한 질문입니다.
소인수는 소수인 인수를 말하고 어느 자연수는 소인수로 분해하는게 소인수분해인데
왜 소인수분해를 하는것이죠?
최대공약수와 최소공배수에 적용되는것 까지는 알겠는데 어떤 원리로 이용 되는지 모르겠네요.
그리고 최대공약수와 최소공배수는 각각 소인수분해의 어느 원리를 이용해서 알아내는건가요?
분명 최대공약수와 최소공배수는 노가다를 통해서 얻을 수 있지만
소인수분해라는 도구를 통해서 빨리 구할 수 있는 것인데
도대체 왜 소인수분해의 원리를 사용하며, 그 사용하는 원리는 무엇인지 정확히 모르겠습니다.
짐작이 가는 것은 소인수라는 것에 힌트가 있다고 생각되는데 도대체 갈피를 잡을 수가 없군요.
즉, 요약 해드리자면
1. 최대공약수와 최소공배수는 노가다를 통해서 구할 수 있다.
그런데 소인수분해라는 도구를 통해서 쉽고 빠르게 구할 수 있다.
여기서 사용되어지는 소인수분해의 원리는 무엇이며, 어떻게 사용 되는가? 이구요.
2. 소인수분해는 도대체 왜 하는가, 그저 최대공약수와 최소공배수를 빠르게 구하기 위함인가?
그리고 왜 소수라는 것이 무엇을 의미하는가?
인수분해도 아니고 소인수분해라는 것은 무언가 특별함을 의미하는데 이 소수라는 특별함이 도대체 무엇은 의미하는가? 입니다.
이렇게만 알려주시면 좋겠습니다.
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거의 현대대수(추상대수)에 대한 전반적인 질문인것 같습니다.
단순히 자연수 범위에서 소인수분해를 보기 보다는 조금더 큰 영역에서 본다면,
우리가 기존에 사용하는 방정식의 풀이 조차도 인수분해 영역에 있다고 할 수 있습니다.
수의 체계를 확대하는 일종의 방법이 되기도하고, 방정식의 해의 존재성도 소수와 소인수분해의 원리에 있다고 할 수 있습니다.
너무 방대한 질문인지라 미천한 제가 제대로 대답할 수는 없지만,
현대대수학(추상대수학)을 공부해보시면 확실한 답을 얻을 수 있을 것입니다.
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>> 소수라는 개념은 쉽게 말해 더 이상 다른 숫자로 나눌 수 없는 수입니다.
다시 말해 임의의 소수끼리 곱하면 모든 자연수를 다 만들 수 있습니다
약수는 어떤 수를 나누어 떨어뜨리는 수입니다. 약수는 소수일 수도 있고 소수끼리의 곱일수도 있습니다.
배수는 어떤 수를 거듭해서 더한 결과이므로 어떤수에 곱하기 1,2,3,4,... 를 한 결과이겠지요.
배수도 소수일 수도 있고 소수끼리의 곱일수도 있습니다.
예를 들어 12와 30이라는 수가 있습니다. 12는 소수의 곱으로 표현하면 22*3이고, 30은 2*3*5입니다
12의 약수는 1, 2, 3, 22, 2*3, 22*3으로 모두 6개입니다
30의 약수는 1, 2, 3, 5, 2*3, 2*5, 3*5, 2*3*5으로 모두 8개입니다
최대공약수는 공통약수중 가장 큰 수 이므로 6입니다
그렇다면 22*3과 2*3*5를 관찰했을 때 공통으로 들어있는 소수의 곱은 2*3인데 2는 차수가 1인것과 2인것이 있습니다
이 중에서 차수가 작은 것을 선택합니다. 그렇게 하면 2*3=6이 됩니다
최소공배수는 절차 생략하고 60입니다
22*3과 2*3*5를 관찰하여 두 수에 들어있는 모든 소수를 선택하면 2*3*5가 됩니다 그런데 2는 차수가 1,2 두 가지가
있으므로 이중에서 큰 것을 선택합니다. 그렇게 하면 22*3*5=60이 됩니다.
소인수 분해를 통해 소수의 곱 형태로 표현해 놓으면 최대공약수와 최소공배수를 쉽게
찾을 수 있기 때문에 사용하는 것입니다.
설명을 쉽게 드리려고 했는데 글로 쓰다보니 표현의 한계가 있네요
^^;;;;
인수라는 말은 약수라는 말과 동일하다고 보시면 되는데요. 즉. 인수는 나누어서 떨어지는 수이죠.
그리고 소수라는 것은 1과 자기자신으로 나누어떨어지는 수잖아요. 그러니까.어떤 수를 곱하기로만 나타낸다고 했을때
다 소수들의 곱으로 가장 기본적으로 표현 할 수 있어요.
예를 들면 12=3x4 보다는 12= 3x2x2이렇게요..
이렇게 소인수 분해를 하면 왜 약수 구하는게 좋냐면요.. 어차피 약수라는게 나누어 떨어지는 수를 의미하므로
12=3x2x2 해 놓으면 3x2도 약수가 되고 2x2도 약수가 되고. 또 2만도 약수가 되고..이렇게 알수 있거든요.
만약 12=4x3이라고 표시하면, 이 식으로만 봐서는 6이 12의 약수가 된다는 것이 바로 안들어 오잖아요..
따라서 위의 경우에서 예를 들면 3의 약수는 2개(1,3)이고, 4의 약수의 개수는 3개인데(1,2,4)
이것들의 곱하기 한 조합만큼 약수의 개수가 나와요. 그래서 소인수 분해를 해서 구합니다..^^