행렬 A에 대햐여 A^3 =O이면 A^2=O 이다 어떻게 증명해야 할까요?
고등수학
2009.03.17 12:07
A^3 =O이면 A^2=O 의 증명
조회 수 1619 추천 수 0 댓글 5
| 문제 레벨 | 고등수학(수능포함) |
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A2?!= O 이라고 가정(결론 부정)양변에 A를 곱하면 A3?!=O ?모순.증명이 조금 이상한 것 같은데....
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A = ( a b)
c d
라 두면 A^3 =O 이므로 A !=kE
케일리헤밀턴의 정리 A^2 -(a+d)A+(ad-bc)E=O
A^2 = (a+d)A-(ad-bc)E --------1)
A^3 = (a+d)A^2 -(ad-bc)A
= (a+d){ (a+d)A - (ad-bc)E } -(ad-bc)A
= {(a+d)^2-(ad-bc)}A - (a+d)(ad-bc)E
= O
따라서 (a+d)^2 -(ad-bc)=0
A의 역행렬이 존재하지 않으므로 ad-bc=0
(a+d)^2=0 즉 a+d=0
1)에서 A^2=O
케일리헤밀턴 정리 연습 겸해서 증명해 봤습니다. -
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깔끔한 증명 감사.
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A3=O 이면 A의 역행렬이 존재하지 않는다.
(만약, A의 역행렬이 존재한다면 A3=O 의 양변에 A의 역행렬의 제곱을
곱하면 A=O 이 되므로 모순이다.)
따라서, A=(a b) 라 하면 D=ad-bc=0 이고,
c d
케일리-해밀턴의 정리에 의하여
A2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O
A2 =(a+d)A (D=ad-bc=0)
A3 =(a+d)A2
=(a+d)2A =O
이므로 A=O 또는 a+d=0 이다.
그런데 A=O 이면 a+d=0 이므로 결국 a+d=0 이다.
그러므로, A2 =(a+d)A =O 이다. -
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굿입니다요^^
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